В какой алгебре разрешено деление на ноль и как построить такую алгебру?

Answer 1

С "алгеброй" вы немного лишку взяли: достаточно группы. В группе 1 (или 0 - зависит от терминологии) - единственный и при этом "правый" совпадает с "левым", обозначим его "Е".
"Деление" - решение уравнения ж*х=ю относительно ж или х. Обозначают х=ю/ж.
То есть "деление на 0" это х=Е*х=ю. То есть когда х и ю не совпадают, равенство невозможно.

Answer 2

Ноль это ничто. У вас два яблока, умножьте или разделите эти яблоки на ничто, у вас два яблока и останется. Т. е. математика это одно, а как применять в жизни это другое.