Докажите вроде бы очевидый факт, касающийся пассивного резистивного четырехполюиника.

Question

Имется пассивный чисто резистивный четырехполюсник.
К его выходу подключен резистор с сопротивлением R.
Входное сопротивление четырехполюсника с подключенным к нему резистором равно R_вх.

Доказать (интуитивно очевидный факт) , что dR_вх/dR

Answer 1

Берем связный граф, ребра - сопротивления r1, r2, , r_n.
A и B - входы. К вершине A прицепим висяще ребро r0, запитаем схему от источника заданного тока I0 = 1A, проходящего через r0 и через вершину B (при варьировании сопротивлений ток будем подерживать тем же I0 = 1) .

Рассмотрим пространство токов i0, i1, и т. д, , проходящих через сотв. резисторы.

Правила Кирхгофа для токов (суммы таких-то токов равны нулю) дадут нам линейное подпростратство в пространстве токов. Ограничения Кирхгофа на токи не зависят от сопротивлений - наше подпространство НЕ меняется при варьировании сопротивлений.
Пересекая его с гиперплоскостью I0 = 1, получим подпространство, НЕ проходяще через ноль (т. е. уже аффинное) .

Токи на нашем аффинном подпространстве потекут так, чтоб мощность тепловыделения в схеме была минимальна.
А это r0*i0^2 + r1*i1^2 + и т. д, то есть положительно определенная квадратичная форма от вектора токов.
При увеличении какого-то r_i из сопротивлений (кроме r0 - его менять не можем! ) квадратичная форма на нашем аффинном подпространстве увеличится в каждой точке (где сотв. i_i ток ненулевой) - следовательно, увеличится мощность тепловыделения схемы при заданном токе на вход (если ток через сопр. ненулевой) , следовательно, увеличится эквивалентное сопротивление. Всё, вуаля - эквивалентное сопротивление не убывает при увеличени любого из сопротивлений.