Проекция векторов на ось - не изоморфизм?

Question

По-сути нарушается взаимо-однозначность.

Answer 1

Проектор - линейный оператор, а, значит, гомоморфизм или, что то же самое, морфизм категории линейных пространств над полем K (в зависимости от того, используем ли мы терминологию универсальной алгебры или теории категорий) .

Морфизм, к которому существует обратный (тоже являющийся морфизмом) - это изоморфизм.
В категории линейных пространств над полем K изоморфизмами являются обратимые линейные операторы.

Проекция вектора на ось (векторнозначная) является изоморфизмом этой категории в том и только том случае, когда пространство одномерно.