Подскажите, как именно называется это правило в русском языке?

Question

Пример: "Пусть будЕт тишь и покой" или "Пусть будУт тишь и покой".

И ещё пример: "На речке сегодня быЛ я и друг" или "На речке сегодня былИ я и друг".

Answer 1

Судя по цитатам, Вы спрашиваете о спряжении глагола "быть" в единственном и множественном числе будущего и прошедшего времен. В боле широком смысле - спряжение глаголов.

Answer 2

Согласование сказуемого с однородными подлежащими.

Правило: "При прямом порядке слов (сказуемое следует за однородными подлежащими) обычно употребляется форма множественного числа сказуемого, при ОБРАТНОМ порядке (сказуемое предшествует подлежащим) – форма единственного числа. " И это правило действует, если однородные подлежащие связаны соединительными союзами И, ДА или только интонацией.
Таким образом, Ваше предложение должно выглядеть так: "Пусть БУДЕТ тишь и покой".
Однако указанное положение не носит категорического характера, постпозитивное сказуемое может стоять в форме единственного, а препозитивное – в форме множественного числа (особенно часто в технической литературе) .

Форма множественного числа препозитивного сказуемого подчеркивает множественность предметов, например: "Снаружи были слышны визг, лай и вой".
Второе предложение я написала бы так: "На речке сегодня БЫЛИ я и друг".