Question

Сходится ли следующий ряд: 1-2+3-4+5-6+7-? И если да, то действительно ли он равен 1/4

Answer 1

Расходится он. 1/4 там присутствует в формуле н-ного члена, но затем идут неизбежные осцилляции.
Но! Есть такое суммирование Абеля. И вот оно позволяет получить ту самую оценку 1/4. Но это не конвергирование ряда в чистом виде.

Answer 2

Нет, не сходится. Знакопеременные ряды являются расходящимися. Строго зависит от номера члена ряда, других значений, тем боле дробных этот ряд дать не может никаких. Только у жуликов и неучей может получиться что-то иное.
С -1/12 тоже враньё, там сплошное шарлотанство с расходящимися рядами.