Если слово подъезд стало нарицательным для обозначения входа в здание, то как называть подъезд к этому входу?

Answer 1

Вы увлеклись игрой слов: у домов современной архитектуры подъезд к жилому дому осуществляется по внутриквартальному ПРОЕЗДУ. Вот его и чистят.

У нас в Питере с этим и ещё проще: говорят не подъезд, а парадная.
Поэтому очистить от снега подъезд к парадной (лестнице) проблем не составляет.