Задача про мышей.

Question

Мотивировано: Задача. На плоскости расставлены от балды (не обязательно в вершинах правильного многоугольника) и пронумерованы (циклически) n мышей. Каждая из них в каждый момент времени бежит с единичной скоростью в сторону, где находится последующая. Доказать, что при четной перестановке мышей точка встречи мышей не изменяется (либо построить контрпример) Замечания. - Это утверждение получено численным моделированием - поиграл с тремя, четырьмя, пятью мышами. - В случае уже трех мышей транспозиция двух изменяет, вобще говоря, место встречи. - В случае квадрата если двух мышей запустить по диагоналям (а двух - по сторонам) , то место встречи попадет уже не в центр, но на естественную ось симметрии. - Сам пока не доказывал и даже над доказательством не думал. Пока руки не дошли.

Answer 1

Думаю, что доказательство надо построить по методу индукции, как это делается, например, в знаменитой задаче про трех испачканных дамах в купе поезда. Эта задача обобщается на любое число N дам.
То есть сначала доказываем задачу для 2-х мышей и для 3-х мышей. А потом сводим задачу для 2N мышей к задаче для 2N-2 мышей. И также задачу для 2N мышей к задаче для 2N-1 мышей.