Есть матрица перехода от старого базиса к новому. В новом базисе задан вектор b. Как найти кординаты b в старом базисе?

Question

Если есть матрица перехода от старого базиса к новому, как задать тогда матрицу перехода от нового базиса к старому?

Заране спасибо за ответ)

Answer 1

Тут, главное, с бодуна не запутаться а обращениях.

Матрица перехода (от старого базиса к новому) выписывается явно через кординаты элементов нового базиса в старом.
Т. е. она является матрицей оператора (в старом базисе) , переводящего поэлементно старый базис в новый.

Т. е. если P -матрица перехода из старого базиса в новый, то для перевода кординат вектора (записанных в виде вектор-столба) из старого базиса в новый нужно умножить вектор-столбец слева на P^-1. Для перевода кординат из нового базиса в старый нужно умножить просто на P.

1. "Как задать тогда матрицу перехода от нового базиса к старому" - обратить исходную матрицу P.
2. "Как найти кординаты b в старом базисе? " - умножить P (без обращения! ) на вектор-столбец кординат b в новом базисе.

Запомнить легко - обычный вектор у тензорных всяких людей, сцк, КОНТРвариантный, поэтому для самого простого традиционного преобразования кординат (старый базис-новый базис) используется матрица, ОБРАТНАЯ матрице перехода из старого базиса в новый.

Answer 2

"Есть матрица перехода от старого базиса к новому" - обратная = "матрица перехода от нового базиса к старому". Умножить b на обратную = "найти кординаты b в старом базисе".