Открытость множеств в Пространстве. Замкнутость множеств

Answer 1

Возьмем непрерывную функцию x (t) (элемент пространства C[0, 1] ) , не являющуюся многочленом. Ее можно представить бесконечным рядом Тейлора в окрестности нуля. Отбрасывая какой угодно "хвост" ряда, получаем многочлен, сколь угодно близкий к x (t) . Выходит, что данная функция является предельной точкой множества P, но ему не принадлежит - множество не замкнуто.
Докажем, что оно и не открыто. К произвольному многочлену p (t) приплюсуем x (t) - не многочлен. Умножая е на сколь угодно малое число