Если дивергенция - это линейный дифференциальный оператор, то Градиент - это ВЕКТОРНЫЙ дифференциальный оператор?

Question

то есть в ходе операции из скалярного поля получается векторное, правильно?

Answer 1

Они оба линейные.
Когда говорят "линейный оператор", то имеют в виду, что всё только в первой степени. (Другими словами, дифференциальное уравнение на собственные значения оператора получается линейным дифференциальным уравнением. )
Оператор градиента действительно преобразует скалярное поле в векторное, так как производную от функции нескольких переменных можно взять в одной точке по всем этим нескольким переменным.
Операторы дивергенции и ротора работают на векторном поле. Дивергенция показывает поток векторного поля, а ротор показывает его завихрение.
Представьте себе поток жидкости. Если это круговой поток на одном месте, то у векторного поля потока жидкости ротор будет ненулевым. Если жидкость при этом никуда не течет, то дивергенция будет нулевой.
Наоборот, если это поток жидкости из какого-то источника или, наоборот, слив куда-то, то ротор векторного поля потока будет нулевым, а дивергенция не нулевой.
Другая интерпретация.
Электрическое поле точечного электрического заряда имет дивергенцию не равную нулю. Есть источник (или сток) силовых линий электрического поля.
Магнитное поле от проводника постоянного электрического тока имет ненулевой ротор. Все силовые линии такого магнитного поля замкнутые.