Почему первобразная это площадь под графиком?

Question

Интегрирование это нахождение первобразной, а интеграл это площадь под графиком. Хотелось бы поясне в этом разобраться

Answer 1

Пусть нам дана некая функция F (x) и е производная f (x) , площадь под которой мы рассматриваем (тут еще должна быть всякая фигня про непрерывность и конечность обеих функций в рассматриваемом интервале, догадайся сам) .

То есть

dF (x) /dx=f (x) - по определению производной.

Отсюда
dF (x) =f (x) dx - вот это очень важно, каждый кусочек первобразной - это е производная в некоторой точке, умноженная на изменение аргумента.

Или же, если все кусочки сложить вместе
F (x) =

Answer 2

Суммирование исходной функции. Это средня у (х) умноженая на длину х-кординаты. Если у нас например прямая у (х) то это диагональ, сделаем первобразную получим (1/2) х*x. 1/2x это средня высотой у (х) =x. (1/2 середина) a второй х длина х-кординаты.
Первобразная дает нам сумму всех функционных значений за период х.