Вопрос про замкнутую квантовую систему

Question

Имется замкнутая квантовая система, которая ни с чем внешним не взаимодействует. В импульсном представлении (как пример) состояние системы является суперпозицией состояний с разным значением импульса, каждое такое состояние имет свою амплитуду (вес) . Меняется ли эта амплитуда со временем, если система не взаимодействует ни с чем внешним?

Answer 1

Есть у вас квантовая система в состоянии |Ф.
И есть оператор импульса: P, собственные значения: p, собственные состояния: |p.
P |p = p |p
 = del (p-q)
Записываем ваше состояние в виде суммы:
|Ф = Sum{ p; A (p, t) |p }
Уравнение Шредингера:
i h (d/dt) |Ф = H Ф
или:
i h (d/dt) Sum{ p; A (p, t) |p } = H Sum{ p; A (p, t) |p }
Sum{ p; i h dA (p, t) /dt |p } = Sum { p; A (p, t) H |p }
Скалярно умножим на собственное состояние оператора импульса со значением q:
 } = }
Sum{ p; i h dA (p, t) /dt } = Sum { p; A (p, t) }
Sum{ p; i h dA (p, t) /dt del (p-q) } = Sum { p; A (p, t) }
 i h dA (q, t) /dt = Sum { p; A (p, t) }
Получили систему линейный диффуров для коэффициентов разложения.
dA (q, t) /dt = - (i/h) Sum{ p; A (p, t) }
Что мы видим? Есть варианты:
1) Если H |p = E (p) |p (то есть, если собственные функции импульса являются собственными и для гамильтониана) , тогда:
 = E (p) = E (p) del (q-p)
И система примет вид:
dA (p, t) /dt = - (i/h) E (p) A (p, t)
И решение:
A (p, t) = A (p, 0) exp ( - i E (p) t / h )
То есть коэффициенты разложения со временем меняют только фазу (что не влияет на вероятности находиться в состоянии с тем или иным импульсом) .
2) содержит не только диагональные элементы. Тогда система никак не упрощается, и коэффициенты A с различным импульсом переходят друг в друга. То есть могут меняться их модули.