Докажите, что уравнение x^4 + 3x^3 + x + 2 = 0 не имет рациональных корней

Answer 1

Допустим, несократимая дробь p/q, где p целое, а q натуральное является решением. Тогда
 (p/q) ^4 + 3 (p/q) ^3 + p/q + 2 = 0
 (p^4 + 3 p^3 q + p q^3 + 2 q^4) /q^4=0
Видим:
p^4 + 3 p^3 q + p q^3 =- 2 q^4
справа у нас всегда чётное число.
Вспоминаем школьные правила, нечётное*нечётное равно нечётное, нечётное*чётное равно нечётное и т д.
если p нечётное, q нечётное
н+н+н=н
если p чётное, q нечётное
ч+ч+ч=ч
пусть p=2m
тогда
16 m^4 + 24 m^3 q + 2 m q^3=- 2 q^4
8m^4 + 12 m^3 q =-q^3 (m+q)
q нечётное, поэтому справа произведение его на любое другое число, кроме нуля тоже нечётное (этот случай невозможен, если хочешь можешь рассмотреть его отдельно) , а слева сумма двух нечётных чисел всегда чётное.
если p нечётное, q чётное
н+ч+ч=н
Четвёртого случая нет, ибо оба числа p и q одновременно чётными быть не могут по условию несократимости дроби.
Итого ни в одном случае правая часть не равна левой, следовательно, искомых p и q не существует.
Формально правильне орудовать с остатками (вычетами)