почему монголы перешли на кириллицу, ведь у них была своя письменность?

Answer 1

Большинство книг для Монголии печатались в СССР. В докомпьютерную эпоху тексты набирались в типографии вручную. Если все типографии на кириллице, их проще и дешевле производить и набирать.
Кроме того, до прихода советской власти в Монголии не было общего начального и среднего образования. Иными словами, письменность массово не использовалась, поэтому как такового "перевода" с одной письменности на другую не было.

Answer 2

О Золотой Орде спорят до сих пор, что это было в отношении России. А кириллица была введена в Монголии только в 1941 году, когда Монголия была уже фактически вассалом СССР, и весьма полезным в то время, да и возможное завоевание Японией не сулило бы Монголии ничего хорошего.