что такое метрический тензор ?

Answer 1

Процитирую очень хорошую работу Сергея Гаврилова (когда-то активного "ответчика", а потом ушедшего с этой свалки) "Тензорное исчисление для чайников":
"Метрический тензор это (математически) как бы правило вычисления длины любого вектора по значениям его компонент. Применительно к (1. 5) говорят, что здесь вектор x свертывается с метрическим тензором и получается вектор. То есть метрический тензор это еще и способ преобразования компонент – от контравариантных к ковариантным и наоборот. "