Есть ли решение в конечном виде дифуравнения y"= a*siny? В Интернете не нашёл.

Answer 1

конечно.
обще решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения плюс частное решение неоднородного уравнения.
частное решение неоднородного уравнения y=0. (если оно удовлетворяет заданным начальным условиям)

рекомендую
Э. Камке "Справочник по обыкновенным дифф. уравнениям"