Можно ли заземлить всю квартиру в многоэтажном доме, без протягивания провода заземления по всей квартире?

Answer 1

Вашей ситуации - только делать открытую (например, в кабель-каналах) проводку трёхжильным кабелем, а старую проводку отключить в щитке.

Да и щиток бы вам перебрать, ибо соплестрой.