что не так с этой схемой и как исправить?

Answer 1

В самом первом каскаде ВСЁ не так.
Посмотрите внимательно на эмиттерные переходы. Ведь в нормальном включении они смещены в прямом направлении. И что тогда получается? Получается, что два эмиттерных перехода соединены последовательно в прямом направлении (базы ж там накоротко соединены) и к ним подано ВСЁ НАПРЯЖЕНИЕ ПИТАНИЯ. То есть вот все 12 вольт дуром к двум последовательно соединенным диодам!
Ничего удивительного, что не работает, потому что и не должно.

Если хотите раскачивать МОП-ключи от предварительного биполярного каскада, в базу КАЖДОГО транзистора надо включить последовательный резистор. Зашунтировав его небольшой ёмкостью, чтоб на фронтах быстре переключалось.
И учтите, что входной сигнал (управляющий) должен иметь полный размах напряжения питания, чтобы на "полочке" импульса либо один, либо другой транзистор был закрыт. Если этого не будет (амплитуда 12 В) - тоже не будет работать.
Если же входной сигнал небольшой амплитуды (логика) , то перед первым каскадом надо поставить дополнительный преобразователь амплитуды, который раскачает входной сигнал до полной амплитуды питания. Ну или модифицировать базовые цепи транзисторов.