Мне непонятно доказательство несчетности множества действительных чисел.

Question

Взяли числа на промежутке от 0 до 1:

0. a11 a12 a13
0. a21 a22 a23
0. a31 a32 a33

Предположили, что это все действительные числа на промежутке от 0 до 1. Но всегда можно найти еще одно число: 0. a1 a2 a3, где ai ! = aii (a1 ! = a11, a2 ! = a22, a3 ! = a33) . Оно не равно ни одному из представленных чисел.

Вот так доказали несчетность.

Почему нельзя пронумеровать бесконечное количество элементов на промежутке от 0 до 1? По мне, тут доказательство именно бесконечного количества элементов, а не несчетности.

Answer 1

Это доказательство от противного (напишу то, что предполагалось, а не то, что написали здесь вы) .

Предположим, множество действительных чисел в промежутке от 0 до 1 счетно, тогда можно как-то занумеровать все его элементы в последовательность.
Занумеровали. Обозначили:

0. a11 a12 a13 и т. д. - первое число в последовательности, "a" с индексами - цифры
0. a21 a22 a23 и т. д. - второе число в последовательности
и т. д.

Если мы сумем построить д. число из указанного промежутка, которого в последовательности нет, то придем к противоречию, следовательно, докажем, что наше множество не является счетным. Вот это там и делается.

Answer 2

Вы правы, но одно (бесконечность) не отрицает другое (несчётность) . Несчётность уточняет "бесконечность" количества и делит бесконечности на категории (счётное - несчётное - алеф -1 . ) . Счётное - одно из самых слабых бесконечностей. Но действительных чисел боле чем счётное (доказательство в этом и заключается) .