Квадратный корень из числа в столбик. Как вычисляется? Именно так, карандашом на бумаге интересует

Answer 1

в столбик - плохой способ, медленный.

есть древний сверхбыстрый алгоритм (в самом деле - метод Ньютона, он же - касательных, хотя этих слов в древности не знали) .

Хотим извлечь корень из А, обозначим точный корень, который хотим найти, как r.

Возьмем какое-то начальное приближение r0. Вобще-то можно взять какое попало положительное число, но быстре будет, если мы возьмем r0 больше, чем r, но не намного больше.
Например, если надо извлечь из А=123456, можно взять 400 - знаков вдвое меньше, первая цифра 4 в начале - что-то около корня из 12. Если лень - можно взять просто r0=A.

А теперь посмотрим на число A/r0 и подумаем: если у нас r0 r, то A/r0 r, и наоборот, если у нас r0 r, то A/r0 r.
Значит неизвестный нам точный корень r лежит где-то между r0 и A/r0. Давайте возьмем в качестве нового приближения середину этого отрезка, то есть r1= (r0 + A/r0) / 2. Потом так же получим следующе приближение итд.

Такой метод удваивает число точных знаков на каждом шаге, так что долго считать не придется.

Например:
400. 00000000000000
354. 32000000000000
351. 37539850982200
351. 36306031259300
351. 36306009596400
351. 36306009596400
 - все сошлось на 15 знаков точности