Представим произведение всех натуральных чисел от 2 до 11 вкл. в виде (2*11) (3*10) (4*9) (5*8) (6*7) =.

Question

. = 22*30*36*40*42= 39916800. Тут "парных" множителей 5 шт. Берём из них серединную (третью: (5/2= 3) , т. е. 4*9= 36 и возводим в 5-ую степень: 36^5= 60466176 39916800. Проверка показывает, что такое неравенство имет место и при других нечётных числах "парных" множителей.
Теперь берём произведение от 3 до 10 вкл. : (3*10) (4*9) (5*8) (6*7) = 1814400. Тут 4 парных множителя, серединного нет. Берём бОльшую из тех, которые находятся в середине (третью: ] (4/2[= ]2, 5[= 3) , т. е. 5*8= 40 и возводим в 4-ую степень: 40^4= 2560000 1814400. Проверка показывает, что такое неравенство имет место и при других чётных числах "парных" множителей.
Другие случаи (когда число множителей - непарных - нечётное) буду рассматривать позже, в дополнениях, а пока вопросы:
1) как можно обобщать полученные результаты?
2) может, есть и другие идеи? (Вопрос состоит в оценке верхнего предела таких произведений как можно "ближе" и проще. )

Answer 1

Вам нужно быстро оценить сверху десятичный логарифм символа Похгаммера? Увы, ничего принципиально проще вычисления через обобщённую дзета-функцию (одна из формул Лерха) или того же ряда Стирлинга не найдёте

Answer 2

Есть т. н. неравенства о среднем. В частности, средне гармоническое = средне геометрическое = средне арифметическое. Посмотрите, например, следствия неравентсва Йенсена: Или Вы о свойствах логарифма гамма-функции хотели что-то спросить?