Я уже давно не получал письмо от друга. Может быть, он очень занят и забыл обо мне.

Question

А почему нельзя "забыл меня", а именно "забыл обо мне"? (Это правильный ответ задания)

Answer 1

Забыл меня - значит забыл, что кто я такая и что я вобще существую. Я стерта из его памяти.
Забыл обо мне - значит он сейчас обо мне не думает.
Но это с большой натяжкой. В реальной речи можно сказать и так, и так.