А почему пределы arctgx и lnx при x - к беск. не одинаковые? Вроде похожие функции. И как у ln предел бесконечность?

Answer 1

Похожие, да не те же.
arctg ограничен п/2.
ln ничем не ограничен. Хотя бы потому, что ln - обратная функция к exp, которая определена при ЛЮБЫХ х.
А arctg обратна тагненсу, но не обычному, а определённому лишь в отрезке от -пи/2 до пи/2. Эти же самые значения ограничивают арктангенс сверху и снизу. У обратной же для логарифма функции exp нет ограничений на область определения. С этим как раз и связан тот факт, что предел арктангенса конечен, а логарифма - бесконечен.

Иными словами, логарифм не ограничен сверху: какое бы число C ни взять, существует значение аргумента, логарифм которого превысит это число. Для этого достаточно взять значение аргумента exp (C + 1) . Поэтому логарифм не ограничен сверху. У арктангенса ограничение вызвано ограничением на область определения у обратной ему функции.

Итак, логарифм не ограничен сверху. Кроме того, он монотонно возрастает (как и его обратная функция exp) . Поэтому предел логарифма на бесконечности - бесконечность: для любого числа все значения логарифма, начиная с некоторого значения аргумента становятся и остаются больше этого числа.