Подскажите, пожалуйста! Как это называется?

Answer 1

Входной дроссель фильтра ИБП. Можно даже исключить на время его.
Слева вверху небольшой "дутик"-электролит - замени. Подобных дросселей валом в старой ТВ аппаратуре конца 90-х.
Думаю будет работать.

Answer 2

это называется дроссель, и чтото я сомневаюсь что он расплавился.
скоре всего с другой стороны платы есть дефект в пайке.
паять умешь? если нет то неси в сервисный.