Обратная функция по ряду Тейлора.

Question

Вобще не знаю, как подступиться к задаче.
Функция y=f (x) представлена формулой Тейлора с ост. членом в форме Пеано:
f (x) =1+x+x^2+x^3+o (x^4.
Доказать, что в окрестности точки x0 функция f (x) имет обратную. Представить обратную функцию формулой Тейлора с ост. членом o (y-y0) ^4. Где y0=f (x0)

Answer 1

1) у0=f (x0)
x0= -1 (это получаем из вида остаточного члена)

2) представим многочлен через степени (х

f (x) =1+x+x^2+x^3+o (x^4=
= (х+ (хx^2+ o (x^4=
= (х+ (х (x -1) ^2+ o (x^4=
= (х+ (х (x^2- 2 (x+ o (x^4=
=2 (х- 2 (x^2+ (x^3+ o (x^4

получаем:
y0=y (-1) =0
y' (-1) =2
y'' (-1) = -2/2=-1

3) "если f является непрерывно дифференцируемой функцией с ненулевой производной в точке a, то f обратима в окрестности a. "

есть дифференциал в точке (раз есть разложение) значит непрерывно дифференцируема.

значит, у неё есть обратная.

раз сама функция в точке дифференцируема, то и обратная тоже дифференцируема и е производная
равна 1/2.

обозначим обратную х=g (y0) .
g' (0) =1/2
 (продолжение следует)