В классе из 25 учащихся 18 изучают английский язык, 15 — немецкий и 17 — французский.

Question

Для каждых двух языков найдётся ровно 5 учащихся, изучающих только эти
два языка. Сколько учащихся изучают все три языка, если каждый учащийся изучал хотя
бы один язык?
А. 6. Б. 5. В. 4. Г. 3

Answer 1

Из условия следует, что 25 - 18 = 7 учащихся не изучают английский. Значит, они изучают либо немецкий, либо французский, либо оба этих языка вместе, либо (формально) ни один из этих двух языков. Также по условию немецкий и французский изучают 5 человек, а ни одного языка - 0. Значит 7 - 5 - 0 = 2 человека изучают либо только немецкий, либо только французский. Итого имем равенство Н + Ф = 2 (буквы, сответствующие языку, означают число учащихся, изучающих только этот язык.

Аналогично получаются равенства: А + Ф = 25 - 15 - 5 = 5, А + Н = 15 - 17 - 5 = 3.

Итого имем систему:

Н + Ф = 2
А + Ф = 5
А + Н = 3

из которой определяем: А = 3, Ф = 2, Н = 0 (т. е. только немецкий не изучал ни один человек) . Нам подойдёт значение хотя бы одной из букв, например, А = 3 - это число людей, изучающих только английский. Число же всех людей, изучающих английский (и, возможно, другие языки) , складывается из тех, кто изучает только английский, тех, кто изучает английский и немецкий, кто изучает английский и французский, и кто изучает все три языка.

Поэтому имем условие: 3 + 5 + 5 + Х = 18, откуда Х = 5. Т. е. 5 человек изучает все три языка.

Проверяем:

Только английский = 3
Только немецкий = 0
Только французский = 2
Английский и немецкий = 5
Английский и французский = 5
Немецкий и французский = 5
Все три языка = 5
Ни одного языка = 0.

Каждый человек принадлежит одной и только одной из этих групп. Складываем их всех и получаем 25, как в условии. Значит решили правильно, и все три языка изучают 5 учащихся.
Из предложенных вариантов правильный Б)