тело массой m катится по сферической поверхности, на какой высоте тело соскользнет из сферы?

Question

Задача теоретической механики

Answer 1

На высоте y от нижней точки шара радиуса R, модуль v скорости тела находится из закона сохранения энергии: mv^2/2=mg (2R-y) ,
отсюда v^2=2g* (2R-y) .
Тело оторвётся от сферы, когда центробежная сила сравняется с реакцией опоры N, т. е. mv^2/R=N, причём N=mg*cos a, где a - угол между радиусом, проведённым из центра шара к телу, и вертикалью.
Отсюда: v^2/R=g*cos a.

Но cos a= (y-R) /R, значит, v^2/R=g* (y-R) /R, или v^2=g* (y-R) ,

Итак, 2g* (2R-y) =g (y-R) , отсюда: y=5R/3.