Раскрытие рекурсии как решить ?

Question

Дано рекурсивное равенство S (1) = 3 ; S (n) = S (n-1) + N . Нужно раскрыть рекурсию используя индукцию
Помогите решить пожалуйста

Answer 1

а в данном случае n = N?

а то как-то странно. итерируем по n, зато добавляем N (то есть некий свободный член, не имеющий ничего общего с аргументом функции)

но если имелось ввиду S (n) = S (n-1) + n, то можно взять любое число вместо n и попытаться посчитать результат

представим что n=10.
тогда S (10) = S (9) 0 = S (8) +90 = . = 3+2+3+4+5+6+7+8+90 = 2 + 1+2+3+4+5+6+7+8+90

возьмём другой пример
S (5) = S (4) +5 = . = 3+2+3+4+5 = 2 + 1+2+3+4+5

Замечаем закономерность, S (n) равно сумме всех чисел от 1 до n включительно плюс ещё 2

Теперь применим индуктивный метод для нахождения суммы последовательного ряда:
все элементы ряда начиная с первого увеличиваются на 1 с каждым шагом
все элементы ряда начиная с последнего уменьшаются на 1 каждым шагом

отсюда вывод, что сумма первого и последнего элементов равна сумме второго и предпоследнего равна сумме третьего и предпредпоследнего и так дале. И таким вот продвижением с разных сторон одновременно в какой-то момент вы дойдём ровно до середины ряда и у нас закончатся элементы. А значит сумма ряда равна сумме первого и последнего чисел, умноженной на половину длины ряда (которая в нашем случае равна n)

итак, сумма последовательного ряда от 1 до n = (n*n/2
а теперь мы можем посчитать, что наше S (n) = 2 + (n*n/2

P. S. Вот именно из-за сложности индуктивных методов лучше применять их только тогда, когда точные и выверенные формулы не работают. . всё-таки математически эта задача решается во множество раз проще. Точне даже так, она математически решается одной строкой, как это сделал Юрий Семыкин