Question

". натуральные числа - с ними можно выполнить операции сложения и умножения, и эти операции оставляют нас в множестве натуральных чисел. Но когда мы попытаемся вычитать, то мы видим, что нам недостаёт множества натуральных чисел". Речь идёт о том, что нельзя из 1 вычесть 2, из 7 вычесть 400 и т. п? То есть что мы выходим на целые отрицательные, которые не являются натуральными?

Answer 1

Никуда мы не виходим. В этом множестве чисел отнять больше от меньшего невозможно. Это свойст во множества. Точно так жн нельзя отнять от 2 яблок 7 яблок . на руках не будет "- 5" яблок. Это действие не возможно. Но оно возможно в множестве целых чисел, с новыми свойствами. По этому мы изночально берём новую систему. Целые числа включяют некоторые свойства натуральных. Это выход из 2 мерного пространства в 3 мерное.

Answer 2

Именно так - когда ты строишь множество целых чисел, ты расширяешь множество натуральных с нулем (коммутативный моноид по сложению) таким "наиболе простым" образом, чтобы уравнения вида a + x = b (или x + a = b) имели единственное решение. См. "группа Гротендика".

Стоит дополнительно отметить, что при таком расширении множества натуральных чисел до целых у тебя еще и операцию умножения можно "хорошо" на множество целых чисел обобщить, и отношение порядка (сравнение чисел на больше/меньше и т. п. ) , и всё это сделать согласованным образом.