Олимпиада по математике

Question

Однажды следователю пришлось допрашивать трех свидетелей ограбления: Джона Уайта, Сэма Грэя и Боба Блэка. Джон уверял, что все показания Сэма - сплошная ложь, а Сэм только и твердил, будто Боб говорит неправду. Боб же все это время уговаривал следователя не верить ни Уайту, ни, тем боле Грэю. Следователь будучи человеком собразительным и умным, попросил всех троих замолчать и, не задав беле ни одного вопроса, быстро определил с кем из них стоит иметь дело, а с кем - нет. Кто же из свидетелей не лгал?

Answer 1

Рассмотрим высказывания: {1 говорит правду};{2 говорит правду};{3 говорит правду}. Нам не известно, какие из них верны, но известно следующе: 1) либо 1 сказал правду, и тогда 2 солгал, либо 1 солгал, и тогда 2 сказал правду; 2) либо 2 сказал правду, и тогда 3 солгал, либо 2 солгал, и тогда 3 сказал правду; 3) либо 3 сказал правду, и тогда 1 и 2солгали, либо 2 солгал, и тогда неверно, что оба других свидетеля солгали (т. е. хотя бы один из этих свидетелей сказал правду) . Выразим эти высказывания в виде системы уравнений: Условие задачи будет выполнено, если одновременно истинны эти три высказывания, а значит истинна их конъюнкция (умнажение) . Перемножим эти равенства (т. е. возьмем их коньюнкцию) . Но в том и только том случае, если, а. Следовательно, 2 говорит правду, а 1 и 3 лгут.