Здравствуйте! Помогите с пределом. Я начала решать, а дальше что-то не получается. СВой ход решения представляю.

Question

Найти предел lim (x->0) = (2x) / (arcsin4x) .
Надо прийти к первому замечательному пределу.
arcsin 4x = arcsin (sin (4x) . А дальше не могу понять, что-то не получается.
Пожалуйста помогите.

Answer 1

Но как это доказать математически, я не знаю.
 
Ну, интуитивно это довольно очевидно: график обратной функции симметричен относительно прямой y=x, следовательно угол наклона касательной в нуле для обратной функции будет /2-, если - угол наклона касательной прямой функции, а поскольку угол наклона синуса в нуле - /4, то он не меняется. Доказать это можно, например, через производную обратной функции. Для неё есть формула: (f^-1 (x) ' = 1/f' (x) . Из этой формулы всё совершенно ясно следует. Так что, всё правильно, получается 1/2.