если функция определена на [a; b], то она интегрируема на [a; b]; - как это можно опровергнуть?

Answer 1

Построить контр-пример.
Если интеграл Римана, то бери обычную функцию Дирихле.

Если Лебега, то сложне, там нужно множество действительных чисел из [a; b] разбивать на классы эквивалентности. Два числа принадлежат одному классу, если их разность рациональна.
Дальше, в каждом таком классе выбери ровно по одному числу по аксиоме выбора, и на каждом выбранном так числе определи функцию нулем, а в остальных точках единицей.