Объясните кто-нибудь идею определенного интеграла (не учитывая площади под кривой)

Question

Идея производной вроде бы ясна - своего рода показатель скорости изменения функции.
Идея неопределенного интеграла - получение первобразной. Поэтому связь с производной понятна.
Однако же неопределенный интеграл дает еще и семейство интегральных кривых. И вот тут возникает вопрос: Каким образом, добавля всего лишь пределы интегрирования, мы выбираем из этого семейства только одну кривую (для которой считаем площадь) ? Или все как-то не так?

Answer 1

А разве подынтергральная функция подразумевает семейство кривых? Она подразумевает только одну конкретную кривую. Вы можете записать первобразную в виде f (x) +C. Но если вы берете определенный интеграл, то значение С всегда известно, а значит интегрируем конкретную кривую.

Answer 2

Определенный интеграл - это объем. Область интегрирования задает фигуру, объем которой находим, а подынтегральная, функция - это так называемая мера (или плотность) . Ну а кратность интеграла сответствует размерности фигуры, объём которой находим. В одномерном случае это длина кривой.

Answer 3

Мы не выбираем одну кривую, а берём любую кривую. Значение разности первобразных для фиксированных аргументов не зависит от выбранной интегральной кривой: С-С=0.

А так как от значения C ничего не меняется, то для упрощения вычислений принимаем, что C=0.