а почему когда мы раскладываем в ряд тейлора до 5 степени остальные

Question

например двадцатую можно отбросить просто? как это доказать?

Answer 1

А просто отбросить и нельзя. Это вопрос, требующий отдельного, иногда непростого исследования. Жизнь, правда, облегчается, если можно ограничиться достаточно малыми расстояниями от исходной точки

Answer 2

Слабая постановка задачи состоит в разложении функции в ряд Тейлора до конкретной степени. При таком подходе вопрос о том, насколько глубоко имет смысл вести расчёт, ложится на плечи задающего задачу, и раз он считает такую точность приемлемой, значит надо брать и выполнять.
Сильная постановка задачи состоит в нахождении значения функции с определённой точностью, и вот здесь выбор глубины расчёта определяется исполнителем на основании задания. Для этого производятся аналитические оценки, благодаря которым можно установить в каких пределах будет изменяться сумма последующих членов и сделать вывод о том, повлияет ли дальнейший расчёт на значение в пределах заданной точности. Дальнейший расчёт производится до тех пор, пока он целесобразен согласно оценки, впрочем, в ряде случаев целесобразным является увеличение точности, если таковое позволит уменьшить число операций (например, нужно найти значение до 2 десятичных знаков, а сумма долго болтается около 2, 82499 не давая возможности правильно округлить, в этом случае увеличиваем точность на 1 знак и получаем 2, 825)
Когда ряд сходится очень медленно, а точность требуется высокая, тогда и 20 членов ряда может не хватить.