Найти все такие натуральные k, что (2^k! ) -1 (2 в степени k, минус 1) кратно k.

Question

Ну для четных очевидно, а для нечетных k до 15 (включительно) я посмотрела и это выполняется. Это мало чего дает, однако можно попробовать доказать верность для всех нечетных

Answer 1

Допустим, что для любого числа k имем (2^k! ) - 1 = n*k, где n - натуральное. Тогда для числа (k имем 2 ^ (k! - 1 = 2 ^ (k! * (k - 1 = (2^k! ) ^ (k -1 = (nk ^ (k -1 В последнем выражении имем бином ньютона и (-1) . Бином Ньютона преобразуется в сумму, в которой все члены будут содержать k в качестве множителя, кроме единички. Эта единичка сокращается с (-1) . Получим сумму членов, в которых везде в качестве множителя есть k. А это значит, что эта сумма делится на k. Мы доказали, что если это верно для числа k, то оно верно и для k. Поскольку ты проверила для k=1 это верно, то по Методу математической индукции наша теорема доказана.