Поворот системы кординат

Question

В робототехнике столкнулся со следующей задачей:

Имем две плоскости и две СК.

Первая СК неподвижна (базовая) . Вторая СК подвижна.

Первая плоскость неподвижна. Вторая плоскость неподвижна относительно второй СК.

Необходимо повернуть вторую СК таким образом, чтобы две плоскости совместились.

Как определить углы Эйлера (точне - кватернионы) второй СК?

Уравнение первой плоскости в неподвижной СК и уравнение второй плоскости в подвижной СК известны. В любой момент могут быть определены положение + ориентация второй СК в первой СК.

Answer 1

Надо матрицу поворота умножить на единичные вектора первой системы кординат выраженные в базисе второй системы кординат и желаемый результат записать снова в базисе второй системы кординат. Это приводит, в общем случае, к системе из девяти линейных уравнений с девятью неизвестными компонентами матрицы поворота. Число уравнений в системе и число независимых переменных уменьшаем до трех за счет хорошо известных свойств матрицы поворота (невырожденность, симметричность, сохранение длин и др. ) . Решаем эту систему и получаем компоненты матрицы поворота.

Answer 2

Бог в помощь.
А также векторная алгебра, скалярное и векторное произведения.
Начните с определения нормали к плоскости.
Тогда Вам станет ясна Ваша цель.
Плоскости станут параллельными за один поворот по минимальному пути, либо за два последовательных поворота, если вращать относительно ортов первой СК. Нормали совместятся.
Ещё один поворот нужен вокруг нормали - для полного совмещения направлений.

Для полного совмещения СК, нужно одно движение сдвига по минимальному пути, либо 3 последовательных сдвига вдоль ортов.

Траектория и время приведения могут сильно различаться в зависимости от выбранной последовательности чередования поворотов и сдвигов.
Энергетически выгодно центром второй системы считать её центр тяжести, и выполнить в любой очередности минимальный сдвиг ЦТ в нужную точку, и комбинацию двух поворотов вокруг ЦТ. Для реальных систем трудно, почти невозможно сдвиг выполнять одновременно с обоими поворотами без "идеальной" системы стабилизации двигателей.
Но проста ситуация, когда вектор сдвига направлен от исходного ЦТ в конечную точку положения ЦТ, и одновременно одно вращение происходит вокруг этого вектора, второй поворот выполняется после смещения.
Правда, тут работаем в третьей СК, основанной на векторе сдвига. .

Необходимые 3 угла Эйлера определяются через матрицы направляющих косинусов, произведение трех таких матриц определяет полный поворот