Можно ли дать определение касательной, не прибегая к понятию производной?

Question

Понятно, что проще всего определить касательную через е уравнение, то есть через производную функции. А можно ли определить производную через касательную? Производная - это угловой коэффициент касательной, но что такое сама касательная? Как е определить, не прибегая к понятию производной? Прямая, которая в некоторой окрестности точки х пересекается с графиком функции только в точке х? Не выйдет. Тогда прямая y = 0 окажется касательной к графику функции y = |x| в точке x = 0, а известно, что в этой точке производной, и, следовательно, касательной к графику не существует. Прямая, которая, как гласит Википедия, "совпадает с графиком функции с точностью до первого порядка"? Но что такое "до первого порядка"? Это значит - до первого слагаемого в ряду Тейлора, а ряд Тейлора строится через производные.

Можно ли вобще определить касательную к графику функции, не прибегая к понятию производной, и если да, то как?

Answer 1

Интересно, а что ты всё нам точку излома суёшь? Настырно, как цыганка на базаре. Неужели непонятно, что на то она и "точка излома", что в ней две производные - слева и справа? !

Answer 2

Исследуется скорость приближения. То есть берут кривую, на ней берут нужную точку A. Рассматривается множество прямых проходящих через данную точку. Выбирают некую точку i на каждой прямой, эту точку начинают приближать к точке A. В малой окрестности A, та прямая, у которой скорость приближения i к кривой на порядок больше скорости приближения i к точке A и есть касательная. За приближение к кривой считать перпендикуляр восстановленный из точки i. Если таких прямых две, то точка A не имет касательной. Так начинается исследование инвариантов дифференциальной окрестности первого порядка.