Ученик купил портфель, авторучку и книгу. Если бы портфель стоил в пять раз дешевле, авторучка в два раза дешевле,

Question

Если бы портфель стоил в пять раз дешевле, авторучка в два раза дешевле, а книга в 2, 5 раза дешевле, то вся покупка стоила бы 200 руб. Если бы портфель стоил в два раза дешевле, авторучка в четыре раза дешевле, а книга в три раза дешевле, то вся покупка стоила бы 300 руб. Сколько стоила покупка на самом деле?

Answer 1

Помню такую задачу, ещё со школьных времён. Она относилась к задачам повышенной трудности по математике. Казалось бы, она нерешаема: неизвестных три, а условий всего два. Но нас не просят найти все переменные, а только их сумму.
Вот как это решается.
Пусть x руб. - стоймость портфеля, y руб. - стоймость авторучки, z руб. - стоймость книги.
Если стоймость портфеля будет ниже в 5 раз, он будет стоить x / 5 руб, аналогично при первом условии авторучка будет стоить y / 2 руб, а книга - z / 2, 5 руб. В итоге имем первое уравнение
x / 5 + y / 2 + z / 2, 5 = 200
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на 10
2x + 5y + 4y = 2000
Аналогично второе условие задачи можно записать в виде
x / 2 + y / 4 + z / 3 = 300
Или, умножая на 12
6x + 3y + 4z = 3600
 
Имем систему двух уравнений с тремя неизвестными
 
2x + 5y + 4z = 2000 (1)
6x + 3y + 4z = 3600 (2)
 
Нам нужно не решить систему, а найти x + y + z
Для этого вычтем из второго уравнения первое и получим
 
4x - 2y = 1600
Или
2x - y = 800 (3)
 
Сложим теперь это уравнение с первым уравнением и получим
 
4x + 4y + 4z = 2800
 
Отсюда x + y + z = 700 руб. - это стоймость всей покупки.