Каково математическое определение нуля?

Answer 1

Нулем называется любая круглая штука, пробразом которой является ядро. Чьё-то ядро, кстати, может и пробразом единицы быть, но единица не круглая, тем и отличается от нуля!
Шутка.

Обычно как нейтральный по сложению элемент его определяют. В некоторых не шибко частых ситуациях - как поглощающий по умножению.

Но ежели ты по-школьному строишь определение числовых множеств N - Z - Q - R, то при построении Z из N ты просто расширяешь N элементом, который называешь нулем, плюс еще делаешь кое-что - вводишь противоположные натуральным числа, вводишь операции сложения и умножения на Z, ну и отношение линейного порядка, чтоб сравнивать числа на больше/меньше.