Сумма периодических функций?

Question

Какие две любые периодические функции в сумме дают не периодическую функцию?

Answer 1

Что значит какие две любые? Пример двух периодических функций, сумма которых не является периодической, построить легко. Пусть f (x) = 0, если x = целое* (корень из двух) , f (x) = 1 для остальных действительных x; g (x) = 0, если x = целое, g (x) = 1 для остальных действительных x. Ирациональность корня из двух ты, надеюсь, доказывать умешь, откуда следует, что f + g имет единственный ноль (в нуле) , а, значит, абелева группа периодов функции f + g тривиальна (т. е. 0 - единственный период функции f + g) , иначе говоря, функция f + g не является периодической. PS. Замечу, что если периодические функции f и g не имеют соизмеримых ненулевых периодов (соизмеримых = отношение которых рационально) , то из этого, вобще говоря, не следует, что функция f + g не является периодической. Но доказывать я это не буду. При желании сам сможешь об этом где-нибудь прочитать, например, вот такая ссылка под руку попалась: