Почему сопряжение является автоморфизмом?

Question

Как доказать? Мне кажется, оно даже не биективно

Answer 1

Давай я буду сопряжение g^-1*h*g обозначать h^g. У него просто куча свойств похожа на свойства степени. Бунина в твоих лекциях такое обозначение не использует, но такое обозначение имет место использоваться в другой лит-ре по теории групп.

f_прав (h) = g^-1*h
f_лев (h) = h*g

f_прав и f_лев есть биекции носителя группы на себя (мы недавно выясняли, почему) , потому и их композиция - тоже. Всё биективно же.

Доказать, что (h1*h2) ^g = h1^g * h2^g можно просто подстановкой, удобне справа налево.
h1^g * h2^g = (g^-1*h1*g) * (g^-1*h2*g) = g^-1*h1* (gg^-1) *h2*g = (h1*h2) ^g

Кстати, с ассоциативными кольцами можно аналогичную хрень провернуть - сопряжение относительно обратимого элемента кольца есть автоморфизм кольца, но в терминах колец обозначение сопряжения h^g выглядело бы несколько натянуто, ибо там в автоморфизме еще бы дополнительно мечта первокурсника выполнялась, (a + b) ^c = a^c + b^c