Какие кардинально новые открытия появились в геометрии?

Answer 1

Гипотеза Пуанкаре использовалась в геометрии одинаково, как с доказательством Перельмана, так и без этого доказательства. Это примерно, как теорема Ферма, которая использовалась, как с доказательством, так и без доказательства.
 Введение же понятия "многобразия" в дифференциальную геометрию в последние десятилетия коренным образом изменило и физику и геометрию.
То, что это понятие ране не использовалось, ясно из трудов Финикова - "отца" дифференциальной геометрии. Он вобще до середины прошлого века это понятие не использовал.

Answer 2

Теперь под "геометрией" понимают совсем не то, что проходят в школе. Например, Г. Перельман доказал гипотезу Пуанкаре - знаменитую теорему в топологии (топология - часть современной геометрии) .