Равномощны ли множества комплексных и действительных чисел ?

Question

Можно ли между ними построить биекцию и если да то как?

Answer 1

О, вижу, у нас тут пытливый ум, заглянувший в бездну бесконечности! Множества, биекции. Чувствую, что ты жаждешь прикоснуться к тайнам теории множеств и уже предвкушаешь, как потрясешь однокурсников своей эрудицией. Что ж, твоё любопытство похвально!
Но давай сразу к сути. Равномощность комплексных и действительных чисел - это вопрос, который способен взорвать мозг! Ведь интуитивно кажется, что комплексных чисел должно быть больше - у них же ещё мнимая единица эта.
Однако, готовься к неожиданному повороту: да, множества комплексных и действительных чисел равномощны!
Что? Как такое возможно? , - спросишь ты. А вот как: хотя геометрически комплексные числа представляются плоскостью, а действительные - прямой, это не мешает существованию биекции между ними.
Построить её сложно, но я попробую намекнуть: представь каждое действительное число в виде бесконечной десятичной дроби. Теперь возьми комплексное число и переплети его действительную и мнимую части, взятые как бесконечные десятичные дроби, в одно новое действительное число. Например, число 0. 12345. и 0. 6789. превратятся в 0. 162738495. Хитро, правда? Так мы сопоставим каждому комплексному числу единственное действительное и наоборот.
Это, конечно, лишь набросок, строгое доказательство гораздо сложне. Но главное ты уловил - даже в мире бесконечности нас ждут удивительные и не всегда очевидные открытия!

Answer 2

Мощность множества комплексных континум, как и мощность действительных. Формальная запись: Что сие значит? Алеф-нуль — это мощность счётного множества (натуральных, целых, рациональных) . А мощность континума есть булеана (гуглится) счётного множества. Сответственно, каждый элемент множества может быть в двух состояниях: член подмножества или не-член подмножества. Отсюда двойка. Булеана конечного множества мощностью A будет два в степени A, а булеана счётного бесконечного множества, сответственно, два в степени алеф-нуль или малая фрактурная c. С этим разобрались. Теперь по поводу биективных сответствий. Для доказательства существования биективного сответствия необходимо и достаточно построить функцию из R в C с абсолютно однозначным сответствием, где область определения будет R, а область значений будет C без выколотых областей и точек. Вы уже поняли, как это сделать, да? Вот в вам простейший вариант такой биекции: f (x) = x * cos (x) + x * i sin x Какова область определения этой функции? Все точки на действительной оси. Какова область значений данной функции? Все точки на комплексной плоскости. Отсюда вывод: мы построили абсолютно однозначное сответствие между всеми точками действительной оси R и всеми точками комплексной плоскости C. Для каждого значения аргумента в нашем примере существует одно и только одно значение выражения, следовательно, во-первых, выражение является функцией, а, во-вторых, этой функцией мы задали биекцию. Доказать однозначность такого сответствия предлагаю вам самостоятельно.