Математический анализ. Морозова

Question

Помогите решить задачку

5. 9. Построить на числовой прямой такое множество, что:
а) все его точки изолированные;
б) нижня грань расстояний между его точками равна нулю;
в) оно не имет предельных точек на числовой прямой.

5. 10. Доказать, что отрезок числовой прямой нельзя
представить в виде объединения двух непустых непересекающихся
замкнутых множеств.

5. 9 (а) это множество N или Z или Q, все элементы этих множеств ведь изолированны друг от друга?

Answer 1

Хм, я так понял в 5. 9 надо предложить множество, которое одновременно удовлетворит всем трем критериям? Если да, то рассмотрим A = { 2, 2 + 1/2, 3, 3 + 1/3, …, n, n + 1/n, … }

Это множество состоит только из изолированных точек, потому что для любого n в окрестности радиуса 1/ (2n) лежит либо точка n, либо точка n + 1/n, но никак не обе (сответственно, для каждой точки предъявляется окрестность, в которой других из A нет)

Точная нижня грань расстояний между точками из A равна нулю, потому что можно всегда выбрать n, такое что | n - (n + 1/n) | = 1/n сколь угодно мало

Последовательность элементов этого множества стремится к плюс бесконечности и, сответственно, не имет предельных точек

Теперь про 5. 10 (очень забавно, что нейросеть в ответе выше знает правильную идею лол) . Решать его можно очень по-разному. Так или иначе, мы будем искать точку, которая будет одновременно граничной и для A, и для B (поэтому из сображений замкнутости должна будет принадлежать им обоим) . Найти е можно, например, методом половинного деления (читай — двоичным поиском) в духе того, как доказываются лемма о стягивающихся отрезках, лемма Гейне—Бореля и подобные факты

Answer 2

Ваше предположение относительно задачи 5. 9 (а) не совсем верно. Множества N, Z и Q не являются изолированными, поскольку между любыми двумя точками этих множеств всегда можно найти другие точки из того же множества.
 
Вместо этого, можно рассмотреть множество, состояще из точек вида 1/n, где n - натуральное число. В этом множестве каждая точка изолирована, так как между любыми двумя точками всегда можно найти промежуток, не содержащий других точек множества.
Что касается задачи 5. 10, то доказательство основывается на свойствах замкнутых множеств. Замкнутое множество содержит все свои предельные точки. Если бы мы могли представить отрезок числовой прямой в виде объединения двух непустых непересекающихся замкнутых множеств, то у каждого из этих множеств была бы по крайней мере одна предельная точка, принадлежащая другому множеству, что противоречит определению замкнутого множества. Таким образом, отрезок числовой прямой нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся замкнутых множеств.