Что такое детерминант? Линейная алгебра

Question

В плане геометрических векторов, это особый коэффициент масштабирования, с которым линейная трансформация меняет любую область пространства. Т. е. во сколько раз изменилась площадь параллелограмма, составленного из двух базис-векторов (в двумерном случае, в трехмерном - это объем) после трансформации. Но ведь вектор может быть не только геометрическим. Поэтому детерминант играет роль при решении систем уравнений. Хотелось бы узнать обще определение детерминанта: как его определять в целом, его роль.

Answer 1

Evgeny M дал очень хороший ответ.
В дополнение: детерминант (= определитель в переводе-кальке) , одна из исторически первых числовых характеристик матрицы. Следующие - собственные числа (и вектора) , характеристические многочлены (коэффициенты таковых) и куча ещё и новые придумывают.