Почему работает метод разделения переменных в дифференциальном уравнении?

Question

Дифференциал функции - это линейное отображение, dy/dt - это формальное деление, другой значек для производной функции y, типа тут не подразумевается буквально деление дифференциалов. И дифференциал под интегралом - это тоже формальный знак, который не является буквально дифференциалом функции. Так это, если я все правильно понял, объясняется в учебнике по матану. Но я открываю учебник по дифурам и там мне впаривают что если у нас есть уравнение dy/dx =f (x) /f (y) , оно эквивалентно f (y) dy=f (x) dx и это эквивалентно S (f (y) dy) = S (f (x) dx) .
Почему это работает ? Почему можно взять и умножить на dx и потом взять интегралы?

Answer 1

Дифференциал под интеграл является буквально дифференциалом (а все подынтегральное выражение - дифференициальной 1-формой) для случая функции одной переменной. А отношение dy/dt - это буквально отношение дифференциалов (с некоторым доп. условиями) . Поэтому можно домножать и делить на дифференциалы, и получать производные, можно записать выражение, пропорциональное дифференциалу (т. е. состряпать дифференциальную 1-форму) , и применить к ней интегрирование. Это все законные действия.

Answer 2

потому что при умножении dy/dx на dx не получается сокращения на dx, получается производная функции y=f (x) , умноженная на dx, а это фактически есть dy