Вектор и векторное поле, разница.

Question

Итак, я понял, что алгебраический вектор свободно перемещать параллельным переносом нельзя. Так можно делать только с физическими векторами. На одном форуме прочёл, что на математическом языке такие физические векторы называются векторным полем. Так ли это? И если да, хотелось бы услышать отличия и в целом сформулированные определения (хотя бы через Осн свойства)

Answer 1

Понятие вектора одновременно самое простое и самое сложное в линейной алгебре. В чем простота? — в том, что по определению вектор — это элемент произвольного векторного (линейного) пространства. В этом смысле функции, многочлены, бесконечные последовательности, формальные ряды и случайные величины — это тоже векторы (в упомянутом смысле) . Но ничего из этого даже близко не похоже на «направленный отрезок», который приходит на ум первым при произнесении слова «вектор» Ваш вопрос, видимо, касается геометрических векторов на плоскости и в пространстве. А вот их определить можно по-разному:

Через класс эквивалентности направленных отрезков

Через отождествление со сдвигами плоскости (параллельными переносами)

Через кординаты вершины сответствующего радиус-вектора

При этом в первых двух определениях, например, в стандартном базисе кординаты v = (3, 0, -1) имет один вектор, но мы ничего не говорим о том, к какой точке он приложен, и никак не фиксируем его положение (и при любых параллельных переносах этого отрезка мы получаем тот же самый вектор) . А вот при третьем определении этот набор чисел связывается конкретно с направленным отрезком, ведущем из (0, 0, 0) в (3, 0, -1) . Что касается термина «векторное поле», то он чаще всего используется для обозначения векторных функций, то есть отображений из некоторого (конечномерного) линейного пространства в другое (конечномерное) пространство размерности больше 1. Например, f (x, y) = (2x - y, 3xy + 1, -x + 2y + 5) задаёт векторное поле, определённое на двумерном пространстве и отображающе его в трехмерное пространство (потому что на входе две кординаты, на выходе — три) Чтобы лучше осознать, как в математике строго определяют понятие геометрического вектора, очень рекомендую посмотреть вводную лекцию Бурмана по алгебре и геометрии из НМУ

Answer 2

Вектор - это элемент линейного пространства. Векторное поле - вектор-функция точки пространства (в каждой точке пространства поля задает свой вектор) .