Можно ли разложить слагаемые в ряде Маклорена в ряды Фурье?

Question

Готовлюсь к ВПР по математике по советским учебникам и вот задумался. Умные люди, подскажите

Answer 1

Да, можно!
Точно также, как слагаемые ряда Фурье разлагаются в степенные ряды, также и степенные слагаемые могут быть разложены в ряды Фурье.

Это свойство связано с тем, что в векторном пространстве любой вектор может быть разложен по линейно независимому набору других векторов. Но при этом каждый вектор в этом наборе линейно-независимых векторов, в свою очередь, тоже может быть разложен по какому-то другому набору линейно-независимых векторов.
Это справедливо не только в векторных пространствах с конечной размерностью (например, в пространстве дискретных функций) , но и в пространстве с бесконечной размерностью (например, в пространстве непрерывных функций) .

Обратите внимание, что для этого требуется только линейная независимость набора векторов, по которым мы раскладываем вектор. Ортонормированность векторов не нужна.
Разложение Фурье идет по ортонормированному базису. А разложение Маклорена (и Тейлора) идут по неортонормированному базису, но этот базис линейно независимый, то есть ни один член этого базиса нельзя выразить через линейную комбинацию всех остальных членов базиса.