Как найти матрицы поворота?

Question

Есть у меня абстрактное линейное пространство. В нем задан стандартный базис. В этом базисе задано скалярное произведение матрицей Грама. Норма вектора как обычно задана через скалярное произведение:
 (a, a) = |a|

Answer 1

Только без формул, они не формтаируются:
Каждый базисный вектор новой системы кординат надо разложить по векторам старого базиса:

Найдём коэффициенты! Умножим скалярно каждое разложение на сответствующий новый вектор, (который слева) , используя свойство дистрибутивности скалярного произведения:

Так как векторы единичные, то скалярные произведения слева будут равны единице

Преобразуем правые части:

Очевидно, равенство будет выполнено, если a_11=cos