Что используется при выводе формулы площади круга - интеграл? Интегрирование? Или что-то ещё?

Answer 1

лёгкое гугление выявило интересную вещь: древние откуда-то просекли, что площадь круга квадратично зависит от радиуса. но доказал это лишь Архимед, выяснив, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, катеты которого - радиус и длина окружности.

после этого вся проблема вычисления квадратуры круга свелась к вычислению числа пи. а его ирациональность и трансцендентность выяснилась лишь в Новое время.

так что да, все эти тысячелетия формула S = пR^2 была приближенной настолько, насколько было приближенным знание о числе пи.